Relaciones de inclusión y Cantor-Berstein

Para adaptar el teorema de Cantor-Bernstein al contexto de conjuntos difusos, primero definimos las nociones de inclusión fuerte y débil entre conjuntos difusos. Dados dos conjuntos difusos A y B con funciones de membresía, $$\mu_A(x)$$ y $$\mu_B(x)$$ podemos establecer las siguientes relaciones de inclusión:

Inclusión débil: Decimos que A está débilmente incluido en B 

representado como:$$A \subseteq_w B$$ si $$\mu_A(x) \leq \mu_B(x)$$ para todos los elementos x en el dominio.

Inclusión fuerte: Decimos que A está fuertemente incluido en B 

representado como:$$A \subseteq_s B$$ si existe un número real k en el rango 0 < k ≤ 1 tal que $$\mu_A(x) \leq k \cdot \mu_B(x)$$ para todos los elementos x en el dominio.

A continuación, intentamos adaptar el teorema de Cantor-Bernstein utilizando estas relaciones de inclusión en lugar de inyecciones y biyecciones:

Supongamos que tenemos dos conjuntos difusos A y B, y se cumple que $$A \subseteq_s B$$ y $$B \subseteq_s A$$(es decir, existe inclusión fuerte en ambas direcciones). 

Entonces, podemos demostrar que hay una biyección difusa que conserva las funciones de membresía entre A y B (es decir, existe una función:

 $$g: A \rightarrow B$$ tal que $$\mu_A(x) = \mu_B(g(x))$$ 

para todos los elementos x en el dominio).

Esta adaptación del teorema de Cantor-Bernstein establece una conexión entre la inclusión fuerte y la existencia de una biyección difusa entre dos conjuntos difusos, utilizando la relación de orden parcial de la inclusión fuerte en el conjunto de todos los conjuntos difusos.

Debemos destacar que esta adaptación no es idéntica al teorema de Cantor-Bernstein en su versión clásica, sino una variante que emplea relaciones de inclusión en lugar de inyecciones y biyecciones. Además, cabe mencionar que estos conceptos no son estándar en la teoría de conjuntos difusos y se presentan aquí solo con fines ilustrativos.

Fuente: 

• Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control, 8(3), 338-353. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X
• Klir, G. J., & Yuan, B. (1995). Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. Prentice Hall.
• Dubois, D., & Prade, H. (1980). Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. Academic Press
• Ross, T. J. (2010). Fuzzy Logic with Engineering Applications (3rd ed.). Wiley.