Operaciones elementales con conjuntos difusos

En el estudio de la teoría de conjuntos difusos, las operaciones elementales son fundamentales para el análisis y la manipulación de estos. 

Algunas de las operaciones en estos conjuntos son:

•  Complemento
•  Intersección
•  Unión. 

Pero antes de introducirnos en las operaciones elementales, tenemos que analizar y entender un poco que son las funciones de pertenencia.

Las funciones de pertenencia son una herramienta primordial en la teoría de conjuntos difusos, ya que permiten asignar un grado de pertenencia a cada elemento del universo en discusión a un conjunto difuso. Estas funciones toman valores en el intervalo [0,1], donde 0 indica que el elemento no pertenece al conjunto difuso y 1 indica que el elemento pertenece completamente al conjunto difuso, con estas podemos definir conjuntos difusos. 

Algunas de las funciones más utilizadas en la teoría de conjuntos difusos son:

Existen más funciones de pertenencia para los conjuntos difusos sin embargo en esta publicación no se entrará en más detalles. Pero hay que tener en cuenta que existen diversas funciones de pertenencia que se utilizan en la práctica y que cada una tiene sus propias características y aplicaciones.

Retomando las operaciones elementales, comenzando con el complemento, se define como el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto difuso original. Es decir, si A es un conjunto difuso, su complemento se define como el conjunto de elementos que no pertenecen a A, la función de pertenencia muy utilizada en complemento se define como 1 menos la función de pertenencia original.

Siendo c: [0,1] → [0,1]. La función c debería cumplir las siguientes propiedades:

Es importante destacar que el complemento de un conjunto difuso no es necesariamente un conjunto difuso. 

Por otro lado, la intersección de dos conjuntos difusos A y B se define como el conjunto de elementos que pertenecen a ambos conjuntos, la función de pertenencia de la intersección se define como el mínimo de las funciones de pertenencia de los conjuntos A y B. Por ejemplo, si μA(x) es la función de pertenencia del conjunto A y μB(x) es la función de pertenencia del conjunto B, entonces la función de pertenencia de la intersección se define como el de estas dos funciones, min(μA(x), μB(x)).

Siendo i el min(μA(x), μB(x)), i: [0,1]x[0,1] → [0,1]. La función i debería cumplir las siguientes propiedades:

Finalmente, la unión de dos conjuntos difusos A y B se define como el conjunto de elementos que pertenecen a al menos uno de los conjuntos su función de pertenencia se define como el máximo de las funciones de pertenencia de los conjuntos A y B. Es decir, si μA(x) y μB(x) son las funciones de pertenencia de los conjuntos A y B, respectivamente, entonces la función de pertenencia de la unión sera el max(μA(x), μB(x)).

Siendo u el max(μA(x), μB(x)), u: [0,1]x[0,1] → [0,1]. La función u debería cumplir las siguientes propiedades:

Además de esto en la unión e intersección existen otras funciones que al cumplir unas propiedades más se les llaman, normas triangulares (t-normas) para la intersección o conormas triangulares (t-conormas) para la unión, que tienen comportamientos especiales y más complejos, que en un futuro me gustaría revisar.

Es importante destacar que estas operaciones elementales no siempre cumplen con todas las propiedades que se esperan de ellas en el caso de conjuntos nítidos. Por ejemplo, la distributividad no siempre se cumple en el caso de conjuntos difusos.

Por lo tanto, es necesario tener en cuenta estas limitaciones al trabajar con conjuntos difusos. A pesar de esto, las operaciones elementales son muy útiles en la teoría de conjuntos difusos y se utilizan ampliamente en aplicaciones prácticas.

En resumen, las operaciones elementales de complemento, intersección y unión son una parte importante para el entendimiento y el manejo de los conjuntos difusos, pero no podemos esperar que cumplan con propiedades que si tienen los conjuntos nítidos. Sin embargo, aun teniendo estas limitaciones, las operaciones elementales son necesarias para un correcto desarrollo y uso de la teoría de conjuntos difusos.

Bibliografia:

• Lofti A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8(3):338–353, 1965. George J. Klir and Bo Yuan. Fuzzy sets and fuzzy logic: Theory and applications. Prentice Hall, 1995. (Microsoft PowerPoint - slides 6.3 (uma.es))