Para empezar la investigación se reviso la pregunta ¿Cómo se puede definir la jerarquía de Von-Neumann en el contexto de los conjuntos difusos? y se planteo responder tal pregunta de manera inicial, la cuál se continuará reforzando.
Primero debemos comprender qué es la jerarquía de Von-Neumann y cómo se define en el contexto de la teoría de conjuntos. Luego, podemos comparar esta definición con la jerarquía de Zermelo-Fraenkel y ver cómo difieren en el contexto de los conjuntos difusos.
La jerarquía de Von-Neumann es una forma de construir conjuntos a partir de otros conjuntos en la teoría de conjuntos. En esta jerarquía, se definen los conjuntos por niveles, donde el nivel n contiene todos los conjuntos que se pueden construir a partir de los conjuntos de los niveles anteriores. En otras palabras, el nivel n contiene todos los conjuntos que se pueden construir utilizando únicamente los conjuntos de los niveles anteriores y las operaciones de unión y potencia.
En la jerarquía de Von-Neumann, el nivel 0 es el conjunto vacío. El nivel 1 es el conjunto que contiene al conjunto vacío, es decir, {∅}. El nivel 2 es el conjunto que contiene al conjunto vacío y al conjunto que contiene al conjunto vacío, es decir, {∅,{∅}}. Los niveles posteriores se construyen de manera similar, agregando conjuntos que contienen los conjuntos de los niveles anteriores.
En contraste, en la axiomatica de Zermelo-Fraenkel, se define un conjunto como una colección de objetos que satisfacen ciertas propiedades. Estas propiedades se especifican mediante los axiomas de la teoría de conjuntos, que establecen las reglas para la construcción y manipulación de conjuntos.
Cuando se consideran conjuntos difusos, la definición de la jerarquía de Von-Neumann puede modificarse para tener en cuenta la incertidumbre en la pertenencia de los elementos a los conjuntos. En este contexto, los conjuntos difusos se construyen por niveles, donde cada nivel contiene todos los conjuntos que se pueden construir a partir de los conjuntos difusos de los niveles anteriores y las operaciones de unión y potencia difusas.
De manera similar a la jerarquía de Von-Neumann estándar, el nivel 0 de la jerarquía de Von-Neumann difusa es el conjunto difuso vacío. El nivel 1 es el conjunto difuso que contiene al conjunto vacío difuso, es decir, {∅}. El nivel 2 es el conjunto difuso que contiene al conjunto vacío difuso y al conjunto difuso que contiene al conjunto vacío difuso, es decir, {∅,{∅}}. Los niveles posteriores se construyen de manera similar, agregando conjuntos difusos que contienen los conjuntos difusos de los niveles anteriores.
Ahora en el libro "Fuzzy Logic with Engineering Applications" de Timothy J. Ross describe la Jerarquía de Von Neumann como un medio eficaz para organizar elementos de dos conjuntos difusos y comparar su intensidad o fuerza.
Para aplicar la matriz de Von Neumann, primero es necesario definir una medida de similitud de elementos entre agregados dispersos. Una vez que se ha dado este paso, se debe comparar la similitud entre los elementos de cada grupo disperso antes de ordenar los elementos según los niveles de similitud; aquellos con calificaciones de similitud más altas aparecerán más arriba en la matriz, mientras que las calificaciones de similitud más bajas aparecerán debajo.
Una vez que dos grupos difusos han establecido sus jerarquias, es posible compararlas y contrastarlas para determinar cuál es más intensa o estridente. Si los elementos de la parte superior de la jerarquia de un conjunto tienen mayor similitud con los elementos de la parte superior de la jerarquía de otro conjunto que cualquiera de los segundos, esto indica que un conglomerado es más fuerte o más intenso que el segundo.
En este libro, se dan varios ejemplos de la aplicación de la Jerarquía de Decisión de Von Neumann en varios contextos, como la clasificación de patrones y la toma de decisiones utilizando sistemas expertos descentralizados. Además, se discuten sus limitaciones junto con cualquier variación o extensión propuesta para extenderlo o modificarlo en la literatura.
En resumen, la jerarquía de Von-Neumann en el contexto de los conjuntos difusos es similar a la jerarquía de Von-Neumann estándar, pero se adapta para tener en cuenta la incertidumbre en la pertenencia a los conjuntos. En contraste, la definición de la jerarquía de Zermelo-Fraenkel no se modifica para los conjuntos difusos, ya que se define en términos de propiedades precisas en lugar de incertidumbre difusa.
Referencia: Fuzzy Logic with Engineering Applications, Timothy J. Ross
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