En este post aprenderemos qué son los conjuntos difusos, cómo se definen y qué operaciones se pueden realizar con ellos de manera interesante y racional.
Los conjuntos clásicos solo permiten dos posibilidades: si un elemento pertenece o no a un conjunto. Los conjuntos difusos expanden este concepto. Por ejemplo, si tenemos un grupo de personas altas, podemos simplemente categorizarlas como altas o no, ignorando las graduaciones intermedias. Esto puede ser extremadamente limitante e impráctico, ya que frecuentemente utilizamos conceptos vagos e imprecisos en la vida diaria que desafían la lógica binaria.
El matemático Lofti Zadeh desarrolló la idea de los conjuntos difusos para abordar este problema en 1965. Permite que un elemento pertenezca parcialmente a un conjunto, con un grado de verdad que varía de 0 a 1. Por lo tanto, dependiendo de su altura y de cómo interpretemos el término "alto", podríamos afirmar que una persona tiene un cierto nivel de pertenencia en el grupo de personas altas. Si decidimos que una persona es alta si mide más de 1,80 metros de altura, por ejemplo, podríamos dar a alguien que mide 1,75 metros de altura un grado de pertenencia de 0,8 y a alguien que mide 1,60 metros de altura un grado de pertenencia de 0,2.
Para definir un conjunto difuso, es necesario tener una función de pertenencia que asigne a cada elemento del conjunto universal, el conjunto que contiene todos los elementos concebibles, un valor entre 0 y 1 que indique su nivel de participación en el conjunto difuso. La función de pertenencia del conjunto de personas altas, por ejemplo, se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:
f(x) =
- 0 si x < 1.60
- (x - 1.60) / 0.20 si 1.60 ≤ x ≤ 1.80
- 1 si x > 1.80
Donde f(x) denota el grado en que una persona de altura x pertenece al conjunto amorfo de personas altas.
Para cada altura, podemos determinar el grado de pertenencia en el conjunto difuso de personas altas utilizando la función f(x). Por ejemplo:
f(1.75) = 0.75
f(1.65) = 0.25
f(1.90) = 1
En el conjunto difuso de personas altas, esto significa que una persona que mide 1,75 metros de altura tiene un grado de pertenencia de 0,75, una persona que mide 1,65 metros de altura tiene un grado de pertenencia de 0,25 y una persona que mide 1,90 metros de altura tiene un grado de pertenencia de 1.
Un ejemplo similar se puede encontrar en la definición del conjunto difuso “personas jóvenes”. La función de pertenencia para este conjunto podría ser:
f(x) =
- 0 si x > 30
- (x - 20) / (30 - 20) si 20 ≤ x ≤ 30
- 1 si x < 20
Donde f(x) denota el grado en que una persona con edad x pertenece al conjunto amorfo “personas jóvenes”.
Dependiendo del tipo de conjunto difuso que deseemos construir, la función de pertenencia puede tener diferentes formas. Las formas típicas son funciones triangulares, trapezoidales, gaussianas o sigmoidales.
Las mismas operaciones, como unión, intersección o complemento, que se pueden llevar a cabo en conjuntos clásicos también se pueden realizar en conjuntos difusos modificando las reglas para tener en cuenta los grados de pertenencia. Por ejemplo, la intersección de dos conjuntos difusos se encuentra tomando el menor grado de pertenencia para cada elemento, el complemento se encuentra restando el grado de pertenencia original de 1, y la unión de dos conjuntos difusos se encuentra tomando el mayor grado de pertenencia para cada elemento.
Los conjuntos difusos nos permiten describir y razonar con información ambigua o subjetiva de una manera más natural y comprensible que con la lógica clásica, por lo tanto, tienen diversas aplicaciones en áreas como la inteligencia artificial, la toma de decisiones o el control autónomo.
Bibliografía:
- Zadeh, L.A. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8(3), 338-353.
- Introducción - LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS https://1library.co/article/introducci%C3%B3n
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